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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 19

Ache o comprimento da curva 9 y 2 = x x - 3 2 no primeiro quadrante, do ponto onde x = 1 ao ponto onde x = 3 .

Passo 1

Pessoal, para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Essa é a fórmula. Perceba que precisamos de uma f ( x ) , isso indica que vamos precisar isolar o y na equação do enunciado. Façamos isso então.

9 y 2 = x x - 3 2   →     y = ± 1 3 x x - 3 2 = ± 1 3 x | x - 3 |

Como é no primeiro quadrante, e x ≤ 3 , temos:

f x = - 1 3 x x - 3 = - 1 3 x 3 2 + x 1 2

Ok! Podemos prosseguir.

Passo 2

Precisamos de [ f ’ x ] e do intervalo de integração para montar a integral.

Se f x = - 1 3 x 3 2 + x 1 2 , então:

f ' ( x ) = - 3 2 ⋅ 3 x 3 2 - 1 + 1 2 x 1 2 - 1 = - 1 2 x 1 2 + 1 2 x - 1 2

Já o intervalo de integração será de x = 1 até x = 3 .

Sendo assim, o comprimento é dado por:

L = ∫ 1 3 1 + - x 1 2 2 + x - 1 2 2 2 d x = ∫ 1 3 1 + x 1 2 2 2 - 2 x 1 2 x - 1 2 4 + x - 1 2 2 2 d x

= ∫ 1 3 x 1 2 2 2 + 2 x 1 2 x - 1 2 4 + x - 1 2 2 2 d x = ∫ 1 3 x 1 2 2 + x - 1 2 2 2 d x = ∫ 1 3 x 1 2 2 + x - 1 2 2 d x

L = 1 2 ∫ 1 3 ( x 1 2 + x - 1 2 ) d x

Passo 3

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

L = 1 2 ∫ 1 3 ( x 1 2 + x - 1 2 ) d u   = 1 2 x 1 2 + 1 1 2 + 1 + x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 1 3

= 1 2 3 3 2 3 2 + 3 1 2 1 2 - 1 3 2 3 2 + 1 1 2 1 2 = 3 3 2 3 + 3 1 2 - 1 3 2 3 + 1 = 3 3 3 + 3 - 4 3

= 3 3 + 3 3 - 4 3 = 6 3 - 4 3 = 2 3 - 4 3

Esse é o resultado procurado.

Resposta

L = 2 3 - 4 3   u . c

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