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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 23

Use a regra de Simpson com n = 10 para estimar o comprimento de arco da curva. Compare a sua resposta com o valor da integral produzido pela sua calculadora.

y = x   s e n   x  

Passo 1

Vamos relembrar qual a regra de Simpson, ok?

∫ a b f ( x )   d x = Δ 3 [   f x 0 + 4 f x 1 + 2   f x 2 + 4   f x 3 + ⋯ + 2   f x n - 2 + 4   f x n - 1 + f x n

Com Δ = b - a    

No nosso caso, a integral que desejamos calcular é

L =   ∫ 0 2 π   1 + d y d x 2   d x

Primeiro, vamos achar a derivada da função

Passo 2

Pela regra do produto,

y ' = x cos ⁡ x   + s e n x   ⇒ 1 + d y d x 2 =     1 + x cos ⁡ x + s e n   x 2

Substituindo,

L =   ∫ 0 2 π       1 + x cos ⁡ x + s e n   x 2   d x  

Isso nos diz que

f x = 1 + d y d x 2 =   1 + x cos ⁡ x + s e n   x 2

Passo 3

Usando Simpson com n = 10 , temos que

Δ x = 2 π - 0 10 = π 5

Sendo assim, temos que nossos pontos são

x 1 = 0 ; x 2 = π 5 ; x 3 = 2 π 5 ; x 4 = 3 π 5 ; x 5 = 4 π 5 ; x 6 = 5 π 5 ; x 6 = 7 π 5 + x 8 = 8 π 5 ;   x 9 = 9 π 5 ,   x 10 = 2 π

Substituindo,

L ≈ π 5 3   f 0 + 4   f π 5 + 2 f 2 π 5 + 4 f 3 π 5 + 2   f 4 π 5 + 4   f 5 π 5 + 4 f 7 π 5 + 2 f 8 π 5 + 4 f 9 π 5 + f 2 π ≈ 15,498085

Usando a calculadora,

L =   ∫ 0 2 π   1 + d y d x 2   d x ≈   15 ,   374568

Resposta

Por Simpson   L ≈ 15,498085 , pela calculadora L ≈ 15 ,   374568

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