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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 26

Nos exercícios de 23 a 26, use a regra de Simpson com n = 8 para aproximar até quatro casas decimais o comprimento de arco. (26) O arco da curva y = t g x , da origem ao ponto ( 1 4 π , 1 ) .

Passo 1

O primeiro passo é descobrirmos os passo de integração. Para isso fazemos:

∆ x = π 4 - 0 n = π 4 8 = π 32

π 4 - 0 3 n = π 4 3 * 8 = π 96

Então, se f x = t g x   → f ' x = s e c ² ( x ) :

f x = ∫ 0 π / 4 1 + ( s e c ² x ) ²   d x = π 96 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + 2 f x 4 + 4 f x 5 + 2 f x 6 + 4 f x 7 + f x 8  

Passo 2

Vamos montar uma tabela com os valores encontrados.

∑ i = 0 8 k i f ( x i ) = 10,59072

Voltando a integral temos:

∫ 0 π / 4 1 + ( s e c ² x ) ²   d x ≈ π 96 10,59072 ∫ 0 π / 4 1 + ( s e c ² x ) ²   d x ≈ 0,34658

Resposta

O arco da f x é igual a 0,3465 .

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