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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.8 - Ex. 39

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 2 x 2 ln ⁡ x d x

Passo 1

A questão pede você tentar calcular a integral imprópria e assim verificar se ela converge ou não.

Sabemos que o argumento do logaritmo deve ser positivo e que ele explode para x → 0 . Assim, devemos primeiro calcular a integral

∫ t 2 x 2 ln ⁡ x d x

Passo 2

Primeiro vamos nos preocupar em achar o valor dessa integral. Para isso, vamos usar integração por partes com u = ln ⁡ x e d v = x 2 d x , de modo que d u = d x / x e v = x 3 / 3 . Assim,

∫ t 2 x 2 ln ⁡ x d x = x 3 ln ⁡ x 3 t 2 - 1 3 ∫ t 2 x 2 d x = x 3 ln ⁡ x 3 - 1 9 x 3 t 2

Portanto,

∫ t 2 x 2 ln ⁡ x d x = 8 ln ⁡ 2 3 - 8 9 - t 3 ln ⁡ t 3 + t 3 9 = 24 ln ⁡ 2 - 8 + t 3 ( 1 - 3 ln ⁡ t ) 9

Precisamos ver o que acontece com o termo t 3 ( 1 - 3 ln ⁡ t ) quando t se aproxima de 0 .

Passo 3

Agora vamos fazer t → 0 + :

lim t → 0 + ⁡ t 3 ( 1 - 3 ln ⁡ t ) = lim t → 0 + ⁡ 1 - 3 ln ⁡ t t - 3

Como temos uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito, podemos aplicar L’Hospital:

lim t → 0 + ⁡ 1 - 3 ln ⁡ t t - 3 = lim t → 0 + ⁡ - 3 t - 3 t 4 = lim t → 0 + ⁡ t 3 = 0

Assim,

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 2 x 2 ln ⁡ x d x = 8 ln ⁡ 2 3 - 8 9

Portanto, a integral converge.

Resposta

8 ln ⁡ 2 3 - 8 9

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