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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.7 - Ex. 4a

Calcule a área de interseção da região limitada pelas curvas:

ρ = 2 - cos ⁡ θ

ρ = 1 + cos ⁡ θ

Passo 1

Primeiramente, vamos igualar as funções para descobrir o ponto de interseção entre elas:

2 - cos ⁡ θ = 1 + cos ⁡ θ

Reorganizando a equação:

1 = 2 cos( θ )

cos( θ ) = 1 2

Logo, temos os valres de θ = π 3 e θ =   - π 3 que satisfazem a equação!

Passo 2

Para facilitar a vizualização, vamos desenhar os gráficos superpostos.

Pegando a parte acima do eixo horizontal, podemos ver que a área entre as curvas é a área da curva preta de 0 ate π 3 , mais a área da curva verde de π 3 até π .

Passo 3

Sabemos que a fórmula para a área em coordenadas polares é:

1 2 ∫ a b ρ 2 d θ

Aplicando os limites de integração:

1 2 ∫ 0 π 3 2 - cos ⁡ θ 2 d θ - 1 2 ∫ π 3 π 1 + cos ⁡ θ 2 d θ

Abrindo as integrais:

1 2 ∫ 0 π 3 2 - cos ⁡ θ 2 d θ     = 1 2 ∫ 0 π 3 4 - 4 cos ⁡ θ +   c o s 2 θ d θ

1 2 ∫ π 3 π 1 + cos ⁡ θ 2 d θ = 1 2 ∫ π 3 π ( 1 + 2 c o s ⁡ ( θ ) + cos 2 ⁡ ( θ ) )d θ

Como cos²( θ ) = 1 2 + c o s 2 θ 2

1 2 ∫ 0 π 3 4 - 4 cos ⁡ θ +   c o s 2 θ d θ = 1 2 ∫ 0 π 3 4 - 4 cos ⁡ θ + 1 2 + c o s 2 θ 2   d θ  

Logo,  

1 2 ∫ π 3 π 1 + cos ⁡ θ 2 d θ = 1 2 ∫ π 3 π ( 1 + 2 c o s ⁡ ( θ ) + 1 2 + c o s 2 θ 2 d θ

Temos uma integral simples, aplicando-se os limites de integração temos que:

1 2 ∫ 0 π 3 4 - 4 cos ⁡ θ + 1 2 + s e n 2 θ 2   d θ + 1 2 ∫ π 3 π ( 1 + 2 c o s ⁡ ( θ ) + 1 2 + s e n 2 θ 2 ) d θ   = π 2 - 9 3 16

Como só pegamos acima do eixo horizontal, devemos multiplicar por 2, achando o valor final da área:

π - 9 3 8

Resposta

A área vale   π - 9 3 8

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