Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.8 - Ex. 3

Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares:

ρ =   1 + cos ⁡ θ   ,   0   ≤   θ   ≤ π

Passo 1

Sabemos que a fórmula para o comprimento de curvas em coordenadas polares é:

∫ a b ρ 2 +   d ρ d θ 2 d θ

Logo:

ρ ² = 1 + 2 cos ⁡ θ +   c o s ² ( θ )

d ρ d θ = - s e n ( θ )

Passo 2

Substituindo na integral e substituindo os limites de integração que são dados no problema:

∫ 0 π 1 + 2 cos ⁡ θ + c o s 2 θ +   s e n ² ( θ )   d θ

Sabemos que c o s 2 θ +   s e n 2 θ =   1 , logo:

∫ 0 π 2 + 2 cos ⁡ θ   d θ

Substituindo θ = 2 u   e d θ = 2 du e mudando os limites de integração para u (no caso devemos dividir por dis porque o u é metade de θ ) :

2 ∫ 0 π 2 + 2 cos ⁡ 2 u   d u = 2 ∫ 0 π / 2 2 ( 1 + cos ⁡ 2 u )   d u

Temos que 1 + cos ⁡ 2 u = 2cos²(u):

2 ∫ 0 π / 2 4 c o s ² ( u )   d u = 2 ∫ 0 π / 2 2 c o s ⁡ ( u ) d u = 4 ∫ 0 π / 2 c o s ⁡ ( u ) d u = 4

Resposta

O comprimento vale 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a área de interseção da região limitada pelas curvas: ρ = 2 - cos ⁡ θ ρ = 1 + cos ⁡ θ
Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares: ρ =e - θ,0≤θ≤ 2 π
Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares: ρ = 1 θ ,1≤θ≤√ 3
Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares: ρ =s e c ⁡ ( θ ),0≤θ≤ π 3