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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.8 - Ex. 2

Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares:

ρ =   e - θ   ,   0   ≤   θ   ≤ 2 π

Passo 1

Sabemos que a fórmula para o comprimento de curvas em coordenadas polares é:

∫ a b ρ 2 +   d ρ d θ 2 d θ

Logo:

ρ ² = e - 2 θ

d ρ d θ = - e - θ

Passo 2

Substituindo na integral e substituindo os limites de integração que são dados no problema:

∫ 0 2 π e - 2 θ + e - 2 θ d θ =   ∫ 0 2 π 2 e - 2 θ d θ =   ∫ 0 2 π e - θ 2 d θ

Resolvendo a integral simples e substituindo os limites de integração, teremos:

2 ( 1 - e - 2 π )

Resposta

O comprimento vale 2 ( 1 - e - 2 π )

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