Trace a curva e estime visualmente seu comprimento. A seguir, encontre seu comprimento exato.

y = x + cos(x), 0 ≤ x ≤ π/2

Passo 1

Primeiro a gente estima visualmente:

Passo 2

Pela figura, o comprimento da curva é suavemente mais largo que a hipotenusa do triângulo formado pelos pontos ( 1,1 ) , π 2 ,   1 , e ( π 2 , π 2 ) . Esse comprimento é mais ou menos ( π 2 ) 2 + π 2 - 1 2 ≈ 1.7 , então nós devemos estimar o comprimento para ser 1 . 7 .

Passo 3

y = x + cos ⁡ x → y ' = 1 - se n ⁡ x → 1 + y ' 2 = 1 + ( 1 - se n ⁡ x ) ² .

Então,

L = ∫ 0 π / 2 1 + ( 1 - se n ⁡ x ) ² d x ≈ 1.7294

Resposta

L ≈ 1.7294 .

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