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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.8 - Ex. 4

Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares:

ρ =   s e c ⁡ ( θ )   ,   0   ≤   θ   ≤ π 3

Passo 1

Sabemos que a fórmula para o comprimento de curvas em coordenadas polares é:

∫ a b ρ 2 +   d ρ d θ 2 d θ

Logo:

ρ ² = s e c ² ( θ )

d ρ d θ = 2 s e c ² θ t g ( θ )

Passo 2

Substituindo na integral e substituindo os limites de integração que são dados no problema:

∫ 0 π 3 s e c 2 θ + 4 s e c 4 θ t g ² ( θ )   d θ

Sabemos que tg²( θ ) = s e c 2 θ -   1   :

∫ 0 π 3 s e c 2 θ + 4 s e c 4 θ t g ² ( θ )   d θ =   ∫ 0 π 3 s e c 2 θ + 4 s e c 4 θ ( s e c 2 θ - 1 )   d θ

∫ 0 π 3 s e c 2 θ + 4 s e c 4 θ ( s e c 2 θ - 1 )   d θ =   ∫ 0 π 3 s e c 2 θ + 4 s e c 6 θ - 4 s e c 4 θ   d θ

∫ 0 π 3 s e c 2 θ + 4 s e c 6 θ - 4 s e c 4 θ   d θ = ∫ 0 π 3 ( 2 s e c 3 θ - sec ⁡ θ ) ²   d θ

= ∫ 0 π 3 ( 2 s e c 3 θ - sec ⁡ θ ) ²   d θ =     ∫ 0 π 3 ( 2 s e c 3 θ - sec ⁡ θ ) d θ

∫ 0 π 3 2 s e c 3 θ d θ - ∫ 0 π 3 sec ⁡ θ d θ  

Como ∫ s e c 3 x d x = 1 2 sec ⁡ x t g x + 1 2 l n ⁡ sec ⁡ x + t g x

e ∫ sec ⁡ x d x = l n t g x +   s e c ⁡ ( x ) , logo:

∫ 0 π 3 2 s e c 3 θ d θ - ∫ 0 π 3 sec ⁡ θ d θ   = sec ⁡ x t g x + ln ⁡ sec ⁡ x + t g x + l n ⁡ sec ⁡ x + t g x   0 π 3

∫ 0 π 3 2 s e c 3 θ d θ - ∫ 0 π 3 sec ⁡ θ d θ   = 2 3 +   2 l n ⁡ ( 2 + 3 )

Resposta

O comprimento vale 2 √ 3 + 2ln(2+ √ 3 )

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