Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares: ρ = sec(θ), 0 ≤ θ ≤ π/3 Passo 1Sabemos que a fórmula para o comprimento de curvas em coordenadas polares é: ∫ a b ρ 2 + d ρ d θ 2 d θ Logo: ρ ² = s e c ² ( θ ) ² ² d ρ d θ = 2 s e c ² θ t g ( θ ) ² Passo 2Substituindo na integral e substituindo os limites de integração que são dados no problema: ∫ 0 π 3 s e c 2 θ + 4 s e c 4 θ t g ² ( θ ) d θ ² Sabemos que tg²( θ ) = s e c 2 θ - 1 : ∫ 0 π 3 s e c 2 θ + 4 s e c 4 θ t g ² ( θ ) d θ = ∫ 0 π 3 s e c 2 θ + 4 s e c 4 θ ( s e c 2 θ - 1 ) d θ ² ∫ 0 π 3 s e c 2 θ + 4 s e c 4 θ ( s e c 2 θ - 1 ) d θ = ∫ 0 π 3 s e c 2 θ + 4 s e c 6 θ - 4 s e c 4 θ d θ ∫ 0 π 3 s e c 2 θ + 4 s e c 6 θ - 4 s e c 4 θ d θ = ∫ 0 π 3 ( 2 s e c 3 θ - sec θ ) ² d θ ² = ∫ 0 π 3 ( 2 s e c 3 θ - sec θ ) ² d θ = ∫ 0 π 3 ( 2 s e c 3 θ - sec θ ) d θ ² ∫ 0 π 3 2 s e c 3 θ d θ - ∫ 0 π 3 sec θ d θ Como ∫ s e c 3 x d x = 1 2 sec x t g x + 1 2 l n sec x + t g x e ∫ sec x d x = l n t g x + s e c ( x ) , logo: ∫ 0 π 3 2 s e c 3 θ d θ - ∫ 0 π 3 sec θ d θ = sec x t g x + ln sec x + t g x + l n sec x + t g x 0 π 3 ∫ 0 π 3 2 s e c 3 θ d θ - ∫ 0 π 3 sec θ d θ = 2 3 + 2 l n ( 2 + 3 ) RespostaO comprimento vale 2 √ 3 + 2ln(2+ √ 3 ) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosCalcule o comprimento do gráfico da função dada.c)y = ln(x), 1 ≤ x ≤ eCalcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica c)x = e^t * cos(t) y = e^t * sen(t) 0 ≤ t ≤ piCalcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica b) x = 3 t e y = 2 t 3 2 , 0 ≤ t ≤ 1Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica a)x = 2t + 1 e y = t - 1 , 1 ≤ t ≤ 22. Uma partícula desloca no plano com equações paramétricas x = x ( t ) e y = y ( t ) . Sabe-se que, para todo t , d x d t = 2 ( c m / s ) , d 2 y d t 2 = - 2 ( c m / s 2 ) e d y d t t = 0 = 4 ( c m /Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre Aplicação de IntegraisLista de exercícios de Comprimento de ArcoVer exercício 13.7 - 4dVer exercício 13.1 - 1a