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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.8 - Ex. 1

Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares:

ρ =   θ   ,   0   ≤   θ   ≤ π

Passo 1

Sabemos que a fórmula para o comprimento de curvas em coordenadas polares é:

∫ a b ρ 2 +   d ρ d θ 2 d θ

Logo:

ρ ² =   θ ²

d ρ d θ = 1

Passo 2

Substituindo na integral e substituindo os limites de integração que são dados no problema:

∫ 0 π θ 2 +   1 2 d θ

Temos uma integral trigonométrica

Para que o teta da integral não se misture com o da questão, trocaremos por x.

∫ x 2 +   1 2 d x

Estamos no caso II, logo:

∫ x 2 +   1 2 d x = ∫ t g ( θ ) 2 +   1 2 d x

Devemos trocar o dx por d θ ,   logo, derivando x = 1tg( θ ) e dx = sec² θ d θ

∫ t g ( θ ) 2 +   1 2 d x = ∫ t g θ 2 +   1 2 s e c ² ( θ ) d θ

Também sabemos que tg²( θ ) + 1 = s e c ² ( θ )

∫ t g θ 2 +   1 2 s e c ² ( θ ) d θ =   ∫ s e c ² ( θ ) s e c ² ( θ ) d θ = ∫ s e c ² ( θ ) * s e c ( θ ) d θ = ∫ s e c ³ ( θ ) d θ

Mas, sabemos que ∫ s e c 3 x d x = 1 2 sec ⁡ x t g x + 1 2 l n ⁡ sec ⁡ x + t g x

Passo 3

O próximo passo é voltar para a variável x. Se x = tg( θ ):

Logo, escrevendo o resultado da integral em função de x:

1 2 sec ⁡ x t g x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + t g x =   x 2 + 1 x 2 x 2 + 1 + 1 2 l n ⁡ ( x +   x 2 + 1 )

Aplicando-se os limites de integração teremos:

π 2 π 2 + 1 + 1 2 l n ⁡ ( π +   ( π 2 + 1 ) )

Resposta

O comprimento vale   π 2 π 2 + 1 + 1 2 l n ⁡ ( π +   ( π 2 + 1 ) )

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