Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares:
Passo 1
Sabemos que a fórmula para o comprimento de curvas em coordenadas polares é:
Logo:
Passo 2
Substituindo na integral e substituindo os limites de integração que são dados no problema:
Temos uma integral trigonométrica
Para que o teta da integral não se misture com o da questão, trocaremos por x.
Estamos no caso II, logo:
=
Devemos trocar o dx por dlogo, derivando x = 1tg() e dx = sec²
=
Também sabemos que tg²(
= =
Mas, sabemos que
Passo 3
O próximo passo é voltar para a variável x. Se x = tg():
Logo, escrevendo o resultado da integral em função de x:
Aplicando-se os limites de integração teremos:
Resposta
O comprimento vale