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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.8 - Ex. 6

Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares:

ρ =   θ ²   ,   0   ≤   θ   ≤ 1

Passo 1

Sabemos que a fórmula para o comprimento de curvas em coordenadas polares é:

∫ a b ρ 2 +   d ρ d θ 2 d θ

Logo:

ρ ² =   θ 4

d ρ d θ = 2 θ

Passo 2

Substituindo na integral e substituindo os limites de integração que são dados no problema:

∫ 0 1 ( θ 4 + 4 θ ² ) d θ =   ∫ 0 1 ( θ 2 ( θ 2 + 4 ) d θ = ∫ 0 1 θ ( θ 2 + 4 ) d θ

Fazendo uma substituição simples, u = θ 2 + 4 e du = 2 θ d θ , tomando cuidado com os limites de integração:

∫ 4 5 √ u d u 2 = 1 2 ∫ 4 5 √ u du = 1 3 u 3 / 2 4 5

Aplicando os limites de integração:

1 3 u 3 / 2 4 5 = 1 3 125 - 64 = 1 3 5 5 - 4 4

Resposta

O comprimento vale 1 3 5 5 - 4 4

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