Encontre o polinômio de Taylor da função f centradas no número a . Faça o gráfico de f e T₃ na mesma tela.

f(x) = x + e^(-x), a = 0

Passo 1

A série de Taylor é dada por:

f x =   ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Os polinômios então são dados pela linearização da função (palavra complicada né?), que é assim:

T 1 x = f a + f ' a ( x - a )

Se aplicarmos a função f ( x ) até n = 3 (porque tá pedindo T 3 ), a gente vai, no caso, derivando a função e aplicando o valor de a pra achar f n ( a ) .

Aí depois a gente aplica na série e acha o polinômio...

Passo 2

Vamos montar uma tabelinha pra ficar mais organizado...

Passo 3

Agora é só jogar esses valores na série para acharmos o polinômio...

T 3 x =   ∑ n = 0 3 f n 0 n ! x - 0 n

= 1 0 ! + 0 1 ! x + 1 2 ! x 2 - 1 3 ! x 3

1 + 1 2 x 2 - 1 6 x 3

Esse é o polinômio T 3 , vamos esboçar os gráficos agora...

Passo 4

E... fim🙏

Resposta

1 + 1 2 x 2 - 1 6 x 3

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