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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 22

Calcule a integral indefinida

int x * coth ((x^2)/(2)) d x

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? Essa integral será resolvida por substituição.

Percebam que temos um polinômio de grau 2 no argumento da função hiperbólica e um polinômio de grau 1 multiplicando a função, isso indica a substituição.

Passo 2

Faremos a substituição u = (x^2)/(2) e derivando temos d u = (2 x)/(2) d x = x d x . Vejam que apareceu justamente o x d x que temos na integral inicial.

Passo 3

Neste passo, nós trocamos a variável da integral transformando em uma integral na variável u .

int x * coth ((x^2)/(2)) d x = int coth u d u

Prontinho! Agora temos uma integral totalmente em u , e ainda por cima é uma integral imediata.

Passo 4

Agora resolveremos essa integral e para isso iremos fazer a manipulação:

int coth u d u = int (cosh x)/(senh x) d u

E agora usaremos uma outra substituição, usando o fato de que ( senh u ) ' = cosh u .

Seja a substituição h = senh u , então d h = cosh x d x . Logo, a nossa integral na variável h , fica:

int (cosh x)/(senh x) d u = int (d h)/(h) = ln |h| + C

Aqui usamos a integral imediata:

int (1)/(x) d x = ln | x | + C

Passo 5

O último passo é voltar na variável original x , como o problema deu uma integral indefinida na variável x , nós devemos dar a resposta nessa variável também. Temos que:

int x * coth ((x^2)/(2)) d x = int (d h)/(h) = ln | h | + C

Em que h = senh u , e u = (x^2)/(2) . Sendo assim h = senh ((x^2)/(2)) e ficamos com

int x * coth ((x^2)/(2)) d x = ln |senh ((x^2)/(2))| + C

Fechamos então!

Resposta

int x * coth ((x^2)/(2)) d x = ln |senh ((x^2)/(2))| + C

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