Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 56
Ache a derivada da função
Passo 1
Oi, tudo certinho 😎?
Precisamos encontrar a derivada da função
que é dada como sendo uma integral de uma outra função. Para facilitar o entendimento, vamos chamar a função de , beleza?
Pra resolver a questão, vamos utilizar a Parte do Teorema Fundamental do Cálculo! Ela diz que se
então Isto é, sempre que uma função é obtida integrando uma função , então a derivada da função é a função
⚠️Mas precisamos tomar cuidado! Perceba que isso não é exatamente o que temos na função , pois temos uma diferença nos limites de integração.
No caso do teorema, o limite superior é e o inferior é constante, enquanto que no caso da função do exercício, o limite superior é e o inferior é
Para lidarmos com isso, vamos definir uma função conveniente que irá nos ajudar no cálculo da derivada que estamos procurando, beleza?
🛠️ Mas antes disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:
- Regra da Cadeia: sejam e funções deriváveis, então
- Para integrais definidas em um intervalo , vale que:
e
Com essas informações, vamos ver como resolvemos essa questão?
Passo 2
Definindo a função
e usando a Parte de Teorema Fundamental, vamos ter que a derivada é dada por
certo?
Agora, se liga: se avaliarmos a função em e em , então temos que
e
🤔 Mas como isso pode ajudar a gente?
Bem, como visto no Passo , valem as seguintes igualdades:
e
ou seja,
Dessa forma, vamos ter que
e calcular a derivada
é a mesma coisa do que fazer (aqui usamos a Regra da Cadeia)
Beleza, no próximo passo, vamos calcular essas derivadas e obter .
Passo 3
Como vimos no Passo anterior, a derivada de é
e temos também que a derivada do cosseno é
e a derivada de é
Então, como no Passo anterior encontramos que
substituindo as derivadas temos que
Ajustando os termos, temos que a função procurada é dada por:
Resposta
A derivada da função
é