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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 18

Ache a derivada da função dada.

h (t) = (sqrt(t - 1))/(sqrt(t + 1))

Passo 1

O enunciado pede para calcularmos a derivada de h ( t ) . Antes de fazer isso, vamos escrever a função como

h (t) = sqrt((t - 1)/(t + 1)) = sqrt(g ( t )) ,

onde g (t) = (t - 1)/(t + 1) . Assim, aplicando a regra da cadeia com a regra do tombo:

h^' (t) = (1)/(2) (g (t))^(- 1 // 2) * g^' (t) = sqrt((t + 1)/(t - 1)) * (g^' (t))/(2)

Passo 2

Agora vamos usar a regra do quociente para calcular g^' (t) :

g^' (t) = ((t - 1)^' * (t + 1) - (t - 1) * (t + 1)^')/((t + 1)^2) = (t + 1 - t + 1)/((t + 1)^2) = (2)/((t + 1)^2)

Assim,

h^' (t) = sqrt((t + 1)/(t - 1)) * (1)/(2) * (2)/((t + 1)^2) = (1)/((t + 1)^2) sqrt((t + 1)/(t - 1))

Resposta

h ' ( t ) = (1)/((t + 1)^2) sqrt((t + 1)/(t - 1))

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