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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 19

Ache a derivada da função dada.

F (x) = root(3)(2 x^3 - 5 x^2 + x)

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada de F e, para isso, vamos usar a regra da cadeia e a derivada de potências (regra do tombo).

Antes de derivar, é interessante reescrever a função:

F (x) = (2 x^3 - 5 x^2 + x)^(1 // 3)

Assim, pode aplicar a regra da cadeia:

F^' (x) = (1)/(3) * (2 x^3 - 5 x^2 + x)^((1)/(3) - 1) * (2 x^3 - 5 x^2 + x)^'

Passo 2

Desta forma, temos que

F^' (x) = (1)/(3) (2 x^3 - 5 x^2 + x)^(- (2)/(3)) (2 x^3 - 5 x^2 + x)^'

Como (2 x^3 - 5 x^2 + x)^' = 6 x^2 - 10 x + 1 , obtemos que

F^' (x) = (6 x^2 - 10 x + 1)/(3 (2 x^3 - 5 x^2 + x)^(2 // 3))

Essa expressão não é válida nos pontos que 2 x^3 - 5 x^2 + x = 0 .

Resposta

F^' (x) = (6 x^2 - 10 x + 1)/(3 (2 x^3 - 5 x^2 + x)^(2 // 3))

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