Ache uma equação da reta tangente à curva y = raiz(x^2 + 9) , no ponto (4, 5) .

Passo 1

A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente a uma curva y = f ( x ) no ponto ( x 0 ,   y 0 ) , com f x = x 2 + 9 , x 0 = 4 e y 0 = 5 . Vale lembrar que usando a equação da reta na forma ponto-inclinação, temos

y - y 0 = f ' x 0   x - x 0

Precisamos descobrir f ' ( x ) para obter a equação da reta!

Passo 2

Derivando f x = x 2 + 9 , obtemos

f ' x = x 2 + 9 1 2 ' = 1 2 x 2 + 9 - 1 / 2 ⋅ x 2 + 9 ' = 2 x 2 x 2 + 9 = x x 2 + 9

Trocando x = x 0 = 4 :

f ' x 0 = 4 16 + 9 = 4 5

Passo 3

Assim, a equação da reta será

y - 5 = 4 5   ( x - 4 )

Portanto,

5 y - 25 = 4 x - 16

De modo que

4 x - 5 y + 9 = 0

Resposta

4 x - 5 y + 9 = 0

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