Ache a derivada da função dada.

g(x) = raiz((2x - 5) / (3x + 1))

Passo 1

A questão pede a derivada da função dada. Como trata-se de um problema de aplicação de regras de derivação, não vamos nos importar muito com o domínio de g e g ' , vamos só calcular a derivada.

Vamos reescrever a função como

g (x) = sqrt(h ( x )) = (h (x))^((1)/(2)) ,

onde h (x) = (2 x - 5)/(3 x + 1) .

Assim, usando a regra da cadeia:

g^' (x) = (1)/(2) (h (x))^(- (1)/(2)) * h^' (x) = (1)/(2) * (1)/(sqrt(h (x))) * h^' (x) = sqrt((3 x + 1)/(2 x - 5)) * (h ' ( x ))/(2)

Passo 2

Vamos calcular h ' ( x ) usando a regra do quociente:

h^' (x) = ((2 x - 5)^' * (3 x + 1) - (2 x - 5) * ( 3 x + 1 ) ')/((3 x + 1)^2) = (2 (3 x + 1) - 3 ( 2 x - 5 ))/((3 x + 1)^2)

Portanto,

h^' (x) = (17)/((3 x + 1)^2)

Desta forma,

g^' (x) = sqrt((3 x + 1)/(2 x - 5)) * (17)/(2 (3 x + 1)^2)

Resposta

g^' (x) = sqrt((3 x + 1)/(2 x - 5)) * (17)/(2 (3 x + 1)^2)

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