Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 27
27. A região limitada pela curva , pela reta , e pelo eixo é girada em torno do eixo . Ache o volume do sólido gerado.
Passo 1
Vamos entender como esse sólido está disposto e depois usar a fórmula do volume aplicado pra ele.
Passo 2
A região é limitada por , pela reta e o eixo , com indo de até (porque encontra o eixo em ) . Um elemento de volume será um disco, centrado no eixo , como a questão pede. O raio (a distância até o eixo desse disco será o próprio valor de , , onde é uma porção infinitesimal no eixo . Show? =]
Passo 3
Pelo teorema 6.1.2 temos
(essa função é o raio, a área é )
No nosso caso,
(vamos usar )
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral:
Prontinho, esse é o volume
Resposta
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4. y = cos x , y = sen x , x = 0 e x = (pi)/(4)
12. y^2 = 2 x , x = 0 , y = 0 e y = 2 , a o r e d o r d o e i x o d o s y .
11. y = 2 x - 1 , y = 0 , x = 0 , x = 4 a o r e d o r d o e i x o d o s x .
13. y = 2 x^2 , x = 1 , x = 2 e y = 2 , a o r e d o r d o e i x o y = 2 .
5. y = x^3 , x = - 1 , x = 1 e y = 0