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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.6 - Ex. 22

Derive a função

f ( x ) = log_2 ( e^(- x) cos pi x )

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

f ( x ) = log_2 ( e^(- x) cos pi x )

Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, onde temos que se:

F (x) = f ( g (x) )

Então:

F^' (x) = f^' (g (x)) . g ' ( x )

Também precisaremos da Regra da Potência onde temos que se:

f (x) = x^n

Onde n é uma constante.

Então:

f^' (x) = n x^(n - 1)

Também vamos precisar da regra do produto, onde:

(u v)^' = u^' v + u v^'

Mas antes de tudo, temos que simplificar um pouco a nossa função para aplicarmos essas regrinhas.

Passo 2

Temos a seguinte propriedade dos logaritmos:

log_a b = (ln b)/(ln a)

Assim, aplicando na nossa função, temos:

f (x) = log_2 ( e^(- x) cos pi x ) = (ln (e^(- x) cos pi x))/(ln 2)

Aplicando a derivada, temos:

f^' (x) = (d)/(d x) [(ln (e^(- x) cos pi x))/(ln 2)]

Retirando a constante para fora da derivada, temos:

f^' (x) = (1)/(ln 2) * (d)/(d x) [ln (e^(- x) cos pi x)]

Agora sim podemos aplicar as regrinhas! 😉

Passo 3

Assim, aplicando a regra da cadeia, fazendo u = e^(- x) cos pi x , temos:

f^' (x) = (1)/(ln 2) * (d)/(d u) (ln u) (d)/(d x) (e^(- x) cos pi x) :.

f^' (x) = (1)/(ln 2) * (1)/(u) * (d)/(d x) (e^(- x) cos pi x) :.

f^' (x) = (1)/(ln 2) * (1)/(e^(- x) cos pi x) * (d)/(d x) (e^(- x) cos pi x)

Passo 4

Resolvendo a derivada que nos restou, aplicando a Regra do Produto, temos:

(d)/(d x) (e^(- x) cos pi x) = cos pi x (d)/(d x) (e^(- x)) + e^(- x) (d)/(d x) (cos pi x)

Aplicando a regra da cadeia em cada derivada, temos:

(d)/(d x) (e^(- x) cos pi x) = cos pi x [- e^(- x)] + e^(- x) [- pi sin (pi x)] :. :.

(d)/(d x) (e^(- x) cos pi x) = - cos pi x e^(- x) - e^(- x) pi sin (pi x) :.

(d)/(d x) (e^(- x) cos pi x) = e^(- x) (- cos pi x - pi sin (pi x))

Passo 5

Aplicando em f^' (x) :

f^' (x) = (1)/(ln 2) * (1)/(e^(- x) cos pi x) * [e^(- x) (- cos pi x - pi sin (pi x))] :.

f^' (x) = - (cos pi x + pi sin (pi x))/(ln 2 cos ( pi x ))

Resposta

f^' (x) = - (cos pi x + pi sin (pi x))/(ln 2 cos ( pi x ))

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