Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

f(t) = sech²(e^t)

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bora fazer essa questão!

O enunciado nos dá a função

f t = sech ²   ⁡ ( e t )

E pede pra a gente encontra sua derivada e simplificar a resposta se possível. Para isso vamos usar as regrinhas de derivação necessárias.

Perceba que essa função é formada por uma função e t que está dentro da função sech ⁡ , e tudo isso está elevado ao quadrado. Ou seja, temos três funções no total, uma dentro da outra como uma casca de cebola.

Para fazer essa derivação usaremos a Regra da Cadeia. Para isso faremos:

u = e t    

f u = sech ²   ⁡ ( u )

Nossa, mas ainda temos uma função dentro da outra. Então vamos fazer uma nova substituição:

v = sech ⁡ ( u )

f v = v ²

Bora relembrar agora como ficaria a Regra da Cadeia:

d f x d t = d f x d v ⋅ d v d u ⋅ d u d t

Maravilha, agora que já sabemos o que fazer, vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Podemos começar derivando:

u = e t    

E como se trada de uma exponencial, sua derivada será:

d u d t = e t

Agora vamos olhar para

v = sech ⁡ u

Essa é uma daquelas funções trigonométricas que possuem derivadas tabeladas, assim:

d v d u = - sech ⁡ u . tanh ⁡ u

Maravilha, agora nos resta

f v = v ²

E sua derivada será calculada pela regra do expoente, assim:

d f x d v = 2 v

Agora já temos tudo que precisávamos.

Passo 3

Substituímos na derivada:

d f x d t = d f x d v ⋅ d v d u ⋅ d u d t

Assim, teremos

d f x d t = - 2 v ⋅ e t ⋅ sech ⁡ u ⋅ tanh ⁡ u

Substituindo u e v :

d f x d t = - 2 sech ⁡ u ⋅ e t ⋅ sech ⁡ u ⋅ tanh ⁡ u

d f x d t = - 2 sech ⁡ e t ⋅ e t ⋅ sech ⁡ e t ⋅ tanh ⁡ e t

Rearranjando:

d f x d t = - 2 e t ⋅ sech 2 ⁡ e t ⋅ tanh ⁡ e t

E prontinho. Achamos nossa derivada.

Resposta

f ' x = - 2 e t ⋅ sech 2 ⁡ e t ⋅ tanh ⁡ e t

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