Derive a função

g(x) = ln(x * raiz(x^2 - 1))

Passo 1

Fala, galera! Beleza?

Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada de primeira ordem da função

g x = ln ⁡ x x 2 - 1

em relação a x .

Para isso, veja que g x é composta por uma função l n que possui em seu argumento outra função   ( x x 2 - 1 ) . Dessa forma, como se trata de uma função composta, deveremos utilizar a regra da cadeia na sua derivação:

f g x ' = f ' g x ∙ g ' x

Então, vamos fazer a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

Observe que nesse caso, temos um produto na função de dentro, x x 2 - 1 . Então, também devemos aplicar a regra do produto na derivação:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Vamos lá!

Passo 2

Lembrando que a derivada de ln ⁡ x é 1 / x e derivando g x , aplicando a regra da cadeia, temos:

g ' x = ln ⁡ h x ' · h x '

g ' x = 1 h x · h x '

Se h x =   x x 2 - 1 , então

g ' x = 1 x x 2 - 1 ∙ x x 2 - 1 '

Agora aplicando a regra do produto na função de dentro, vamos ter:

g ' x = 1 x x 2 - 1 ∙ x ' ∙ x 2 - 1 + x ∙ x 2 - 1 '

Na derivada de x 2 - 1 aplicamos a regra da cadeia novamente...

E derivando dentro dos colchetes, obtemos:

g ' x = 1 x x 2 - 1 x 2 - 1 + x 2 x 2 - 1 2 x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

g ' x = 1 x x 2 - 1 x 2 - 1 + x 2 x 2 - 1

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