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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 8

  1. Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada.

h y =     2 y 3 + 5 3  

Passo 1

Lembrando da regra da cadeia:

f x = g h x ⇒ f ' x = g ' h x ⋅ h ' ( x )

E reescrevendo a função:

h y = 2 y 3 + 5 1 3    

Então,

h ' y = 1 3 2 y 3 + 5 1 3 - 1 ⋅   2 ⋅ 3 y 3 - 1      

h ' y = 1 3 2 y 3 + 5 - 2 3 ⋅   6 y 2      

h ' y = 2 y 2 2 y 3 + 5 - 2 3

Passo 2

Para encontrar a derivada segunda, basta derivarmos h ' y .

Aplicando a regra do produto:

h ' ' y = 4 y ⋅ 2 y 3 + 5 - 2 3 + 2 y 2 - 2 3 2 y 3 + 5 5 3 ⋅ 6 y 2

h ' ' y = 4 y ⋅ 2 y 3 + 5 - 2 3 - 8 y 4 2 y 3 + 5 5 3 ⋅

Resposta

h ' y = 2 y 2 2 y 3 + 5 - 2 3

h ' ' y = 4 y ⋅ 2 y 3 + 5 - 2 3 - 8 y 4 2 y 3 + 5 5 3

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