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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 8

Nos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:

8. ∫ c o t g 5 2 x d x

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a integral da seguinte forma:

∫ c o t g 2 x   c o t g 2 2 x 2   d x

Faremos a seguinte substituição:

u = 2 x → d v = 2 d x

Ficamos com:

1 2 ∫ c o t g u   c o t g 2 u 2   d u

E pela identidade trigonométrica:

c o t g 2 x + 1 = c o s s e c 2 x

Podemos escrever a integral como:

1 2 ∫ c o t g u   c o s s e c 2 u - 1 2   d u

Passo 2

Precisaremos fazer mais uma substituição:

v = c o s s e c u → d v = - c o t g v   c o s s e c v d u

Isolando o du:

d u = - d v c o t g v   c o s s e c v

Nossa integral então vai ficar assim:

- 1 2 ∫ v 2 - 1 2 v   d u

Expandindo a potência:

- 1 2 ∫ v 4 - 2 v 2 + 1 v   d u

Reescrevendo:

- 1 2 ∫ v 3 - 2 v + 1 v   d u

Passo 3

E agora podemos integrar:

- v 4 8 + v 2 2 - l n v 2 + c

Retornando para a variável u:

- c o s s e c 4 u 8 + c o s s e c 2 u 2 - l n c o s s e c u 2 + c

E agora retornando para x:

- c o s s e c 4 2 x 8 + c o s s e c 2 2 x 2 - l n c o s s e c 2 x 2 + c

Resposta

- c o s s e c 4 2 x 8 + c o s s e c 2 2 x 2 - l n c o s s e c 2 x 2 + c

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