Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 6
Ache as dimensões do maior jardim retangular, de forma que uma casa limite um lado do jardim e 100 m de cerca sejam usados.
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
Vamos equacionar tudo que o problema nos dá: a área e a quantidade de cerca.
Onde é o comprimento do jardim e a largura.
Vamos considerar que a casa está do lado da largura do jardim. Daí ficamos com o seguinte perímetro:
Agora podemos isolar o e isolarmos a relação que acharmos na equação da área do jardim.
Substituindo:
Agora é só derivar essa equação e achar o valor onde a derivada se iguala é nula!
Passo 3
Derivando:
Igualando isso a
Temos o valor de um dos lados do jardim!
Passo 4
Podemos substituir isso na segunda equação que temos. Assim:
Só que o que maximiza a nossa área é Substituindo:
Resposta
por