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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.7 - Ex. 24

Ache o domínio da função e diga se é contínua nos intervalos:

F y = 1 3 + 2 y - y 2

Intervalos: - 1,3 ; - 1,3 ; - 1,3 ; ( - 1,3 ]

Passo 1

Para encontrar o domínio de uma função racional (polinômio de grau 0 sobre polinômio de grau 2), precisamos definir os valores nos quais o denominador é diferente de 0. Assim, nossa restrição será 3 + 2 y - y 2 ≠ 0 , ou seja, y ≠ 3   e   y ≠ - 1 .

Portanto, nosso domínio será D = R - { - 1,3 }

Passo 2

Para determinar a continuidade da função em cada intervalo, vale lembrar que funções racionais são contínuas em todo seu domínio, ou seja, precisamos verificar os intervalos nos quais os valores 3 e - 1 não pertençam, para que haja continuidade.

Passo 3

Intervalo - 1,3 : - 1   e   3 não pertencem, então é contínua.

Intervalo - 1,3 :   - 1   e   3 pertencem, então não é contínua.

Intervalo - 1,3 :   - 1 pertence, então não é contínua.

Intervalo - 1,3 : 3 pertence, então não é contínua.

Resposta

D = R - { - 1,3 }

É contínua no intervalo:   - 1,3

Não é contínua nos intervalos: - 1,3 ; - 1,3 ; ( - 1,3 ]

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Seja f : 0,1 → R contínua e tal que para todo x em 0,1 , 0 ≤ f x ≤ 1 . Prove que existe c em 0,1 tal que f c = c .
Suponha f contínua no intervalo I e que f admita neste intervalo uma única raiz a . Suponha, ainda, que existe x 0 em I , com x 0a , tal que f x 00 . Prove que, para todo x em I , com xa , f x0 .
a) Prove que todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.b) Prove que todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real.
Seja f : - 1,1 → R dada por f x = x 2 + x 1 + x 2 .a) Prove que f 1 é o valor máximo de f .b) Prove que existe x 1 ∈] - 1,0 [ tal que f x 1 é o valor mínimo de f .
Seja f : I → R contínua, onde I é um intervalo qualquer. Prove que a imagem de f é um intervalo.