Ache a equação da hipérbole satisfazendo as condições dadas e faça um esboço do gráfico.

Centro na origem, focos sobre o eixo y e passando pelos pontos (-2, 4) e (-6, 7) .

Passo 1

Pelos dados do enunciado entendemos que a hipérbole tem a seguinte forma

y 2 a 2 - x 2   b 2 = 1

Passo 2

Vamos aplicar os valores dos pontos na hipérbole

Para ( - 2 ,   4 )

4 2 a 2 - ( - 2 ) 2   b 2 = 1

16 a 2 - 4   b 2 = 1

Multiplicando tudo por a 2 b 2

b 2 16 - 4 a 2 = a 2 b 2 (1)

Para ( - 6 ,   7 )

7 a 2 - ( - 6 ) 2   b 2 = 1

49 a 2 - 36   b 2 = 1

Multiplicando tudo por a 2 b 2

b 2 49 - 36 a 2 = a 2 b 2 (2)

Passo 3

Para achar a 2 e b 2 vamos resolver os sistemas.

Multiplicando (1) por -9 e somando à (2) temos

b 2 49 - 36 a 2 - b 2 16 ∙ 9 + 36 a 2 = - 9 a 2 b 2 + a 2 b 2

b 2 49 - b 2 16 ∙ 9 = - 8 a 2 b 2

b 2 49 - 144 = - 8 a 2 b 2

95 = 8 a 2

95 8 = a 2

Agora aplicando a 2 em (1)

b 2 16 - 4 95 8 = 95 8 b 2

- 95 2 = 95 8 b 2 - b 2 16

- 95 2 = b 2 95 8 - 16

- 95 2 = b 2 - 33 8

- 95 2 - 8 33 = b 2

b 2 = 380 33

Passo 4

Tendo a 2 e b 2 basta substituir na hipérbole.

y 2 95 8 - x 2   380 33 = 1

8 y 2 95 - 33 x 2   380 = 1

Resposta

8 y 2 95 - 33 x 2   380 = 1

Segue a representação gráfica desta hipérbole

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