São dados uma função f e os números n, a e b. Aproxime até quatro casas decimais a área da região limitada pela curva y = f x , pelo eixo x e as retas x = a e x = b fazendo o seguinte: divida o intervalo [a, b] em n subintervalos de Δ x unidades de largura. f x = s e n ( x ) , a = π / 6 , b = 5 π 6 , n = 8 , retângulos inscritos.

E por fim, a área total será a soma destas duas áreas que calculamos! A = A 1 + A 2 A = 0,7956 + 0,7956 A = 1,5912

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 51

São dados uma função f e os números n, a e b. Aproxime até quatro casas decimais a área da região limitada pela curva , pelo eixo x e as retas e fazendo o seguinte: divida o intervalo [a, b] em n subintervalos de unidades de largura.

, , , , retângulos inscritos.

Passo 1

A questão nos pede para calcular a área cinza, limitada pelas três curvas e o eixo x:

Devemos então, conforme pedido, utilizar retângulos inscritos na região para realizar o cálculo.

Passo 2

É importante observar que a curva muda de concavidade no ponto . Desta maneira, devemos dividir nosso cálculo da área em duas partes.

Como a nossa curva é crescente até o ponto , o valor mínimo absoluto estará no canto esquerdo dos subintervalos. Ou seja, para a primeira parte do cálculo da área usaremos .

E como a função é decrescente na segunda parte da curva, então o mínimo absoluto ficará no canto direito dos nossos subintervalos, ou seja, ou seja, usaremos na segunda parte do cálculo.

Temos que:

Sendo que:

Isto é, cada um dos 8 retângulos inscritos possui de largura.

Passo 3

Podemos então calcular cada um dos e que serão utilizados no cálculo, e também seus e correspondentes.

Não esqueça de passar a sua calculadora para radiano! 😉

Podemos então calcular a área desejada:

Resposta

E por fim, a área total será a soma destas duas áreas que calculamos!

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Encontre o centroide da região mostrada, não por integração, mas por localização dos centroides dos retângulos e triângulos (do Exercício 39 ) e usando a aditividade dos momentos.

Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado. lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n x i ln ⁡ 1 + x i 2 ∆ x ,2,6

Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral. ∫ - 1 5 1 + 3 x d x

Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral. ∫ 1 2 x 3 d x

As massas pontuais m i estão localizadas no eixo x conforme mostra a figura a seguir. Ache o momento M do sistema com relação à origem e o centro de massa x - .