Para a função f cujo gráfico é está ilustrado no Exercício 1, disponha os seguintes números em ordem crescente e explique seu raciocínio

0, f´(2), f(3) - f(2), 1 / 2 [f(4) - f(2)]

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema foi dado um gráfico de uma função e nosso objetivo é colocar os valores de

0 ,     f ´ 2 ,     f 3 - f 2 ,     1 2 f 4 - f 2

Em ordem crescente.

Mas antes, vamos dar uma olhadinha no gráfico...

Parece complicado?

Para resolver esse problema vamos estimar os valores das imagens do gráfico em cada um dos pontos e em f ' 2 vamos esboçar a reta tangente a f em x = 2 e obter sua inclinação.

Isso porque f ' 2 nada mais é do que a inclinação da reta tangente a f no ponto x = 2 .

Agora parece fácil? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar pelo mais simples... vamos estimar as imagens de f nos pontos x = 2 , 3 e 4 .

Fizemos essas estimativas a partir da escala do gráfico.

Agora vamos obter a inclinação da reta tangente a f em x = 2 .

Agora precisamos de dois valores que pertence à reta para calcular sua inclinação...

m = ∆ f ∆ x

Já temos o ponto 2 ; 1,3 que vimos anteriormente.

O outro ponto podemos obter a partir do ponto onde a reta corta o eixo x ...

Estimando o valor em x , temos 0,3 ; 0

m = ∆ f ∆ x = 1,3 - 0,3 2 - 0

m = 0,5

Portanto encontramos que f ' 2 = 0,5

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora só o que nos resta é organizar esses valores em ordem crescente...

Resumindo o que encontramos no passo 2, temos

f 2 = 1,3 f 3 = 1,9 f 4 = 2,2 f ' 2 = 0,5

Vamos começar calculando f 3 - f 2 ...

f 3 - f 2 = 1,9 - 1,3

f 3 - f 2 = 0,6

Agora vamos calcular 1 2 f 4 - f 2 ...

1 2 f 4 - f 2 = 1 2 2,2 - 1,3

1 2 f 4 - f 2 = 0,45

Assim, temos que a ordem de 0 ,     f ´ 2 ,     f 3 - f 2 ,     1 2 f 4 - f 2 é dada por

0 < 1 2 f 4 - f 2 < f ´ 2 < f 3 - f 2

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

0 < 1 2 f 4 - f 2 < f ´ 2 < f 3 - f 2

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