Calcule a derivada indicada.

d / dt ( raiz( (sen t + 1) / (1 - sen t)) )

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Podemos reescrever a função como

sqrt((s e n t + 1)/(1 - s e n t)) = sqrt(h ( t )) = (h (t))^(1 // 2) ,

onde

h (t) = (s e n t + 1)/(1 - s e n t)

Passo 2

Assim, usando a regra da cadeia:

(d)/(d t) (sqrt((s e n t + 1)/(1 - s e n t))) = (1)/(2) (h (t))^(- 1 // 2) * h^' (t)

Portanto,

(d)/(d t) (sqrt((s e n t + 1)/(1 - s e n t))) = (1)/(sqrt(h (t))) * (h^' (t))/(2) = sqrt((1 - s e n t)/(s e n t + 1)) * (h^' (t))/(2)

Passo 3

Para calcular h ' ( t ) , vamos usar a regra do quociente:

h^' (t) = ((s e n t + 1)^' (1 - s e n t) - (s e n t + 1) (1 - s e n t)^')/((1 - s e n t)^2)

Assim,

h^' (t) = (cos t - cos t s e n t + cos t s e n t + cos t)/((1 - s e n t)^2) = (2 cos t)/((1 - s e n t)^2)

Portanto,

(d)/(d t) (sqrt((s e n t + 1)/(1 - s e n t))) = sqrt((1 - s e n t)/(s e n t + 1)) * (cos t)/((1 - s e n t)^2)

Resposta

(d)/(d t) (sqrt((s e n t + 1)/(1 - s e n t))) = sqrt((1 - s e n t)/(s e n t + 1)) * (cos t)/((1 - s e n t)^2)

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Derive.(c) y = cotan(x^2)
Seja y = f x uma função derivável num intervalo aberto I , com 1 ∈ I . Suponha f 1 = 1 e que, para todo x em I , f ' x = x + f x 3 .a) Mostre que f ' ' x existe para todo x em I .b) Calcule f ' ' 1 .c
Seja y = x * e^(2x) . Verifique que (d^2y) / (dx^2) - 4 (dy/dx) + 4y = 0 .
Derive.h) y = x^3 * tan(4x)
Seja y = (x + 1) / (x - 1) . Verifique que(1 - x) * (d^2y) / (d^2x) = 2 * (dy) / (dx)