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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 27

Calcule a derivada indicada.

(d)/(d t) (sqrt((s e n t + 1)/(1 - s e n t)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Podemos reescrever a função como

sqrt((s e n t + 1)/(1 - s e n t)) = sqrt(h ( t )) = (h (t))^(1 // 2) ,

onde

h (t) = (s e n t + 1)/(1 - s e n t)

Passo 2

Assim, usando a regra da cadeia:

(d)/(d t) (sqrt((s e n t + 1)/(1 - s e n t))) = (1)/(2) (h (t))^(- 1 // 2) * h^' (t)

Portanto,

(d)/(d t) (sqrt((s e n t + 1)/(1 - s e n t))) = (1)/(sqrt(h (t))) * (h^' (t))/(2) = sqrt((1 - s e n t)/(s e n t + 1)) * (h^' (t))/(2)

Passo 3

Para calcular h ' ( t ) , vamos usar a regra do quociente:

h^' (t) = ((s e n t + 1)^' (1 - s e n t) - (s e n t + 1) (1 - s e n t)^')/((1 - s e n t)^2)

Assim,

h^' (t) = (cos t - cos t s e n t + cos t s e n t + cos t)/((1 - s e n t)^2) = (2 cos t)/((1 - s e n t)^2)

Portanto,

(d)/(d t) (sqrt((s e n t + 1)/(1 - s e n t))) = sqrt((1 - s e n t)/(s e n t + 1)) * (cos t)/((1 - s e n t)^2)

Resposta

(d)/(d t) (sqrt((s e n t + 1)/(1 - s e n t))) = sqrt((1 - s e n t)/(s e n t + 1)) * (cos t)/((1 - s e n t)^2)

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