Calcule a derivada indicada.

d/dt(raiz((sen t + 1) / (1 - sen t)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Podemos reescrever a função como

s e n   t + 1 1 - s e n   t = h ( t ) = h t 1 / 2 ,

onde

h t = s e n   t + 1 1 - s e n   t

Passo 2

Assim, usando a regra da cadeia:

d d t s e n   t + 1 1 - s e n   t = 1 2 h t - 1 / 2 ⋅ h ' t

Portanto,

d d t s e n   t + 1 1 - s e n   t = 1 h t ⋅ h ' t 2 = 1 - s e n   t s e n   t + 1 ⋅ h ' t 2

Passo 3

Para calcular h ' ( t ) , vamos usar a regra do quociente:

h ' t = s e n   t + 1 ' 1 - s e n   t - s e n   t + 1   1 - s e n   t ' 1 - s e n   t 2

Assim,

h ' t = cos ⁡ t - cos ⁡ t   s e n t + cos ⁡ t   s e n   t + cos ⁡ t 1 - s e n   t 2 = 2 cos ⁡ t 1 - s e n   t 2

Portanto,

d d t s e n   t + 1 1 - s e n   t = 1 - s e n   t s e n   t + 1 ⋅ cos ⁡ t 1 - s e n   t 2

Resposta

d d t s e n   t + 1 1 - s e n   t = 1 - s e n   t s e n   t + 1 ⋅ cos ⁡ t 1 - s e n   t 2

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