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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 35

Ache as equações das retas tangentes à curva y = 2 x 3 + 4 x 2 - x que têm inclinação 1 2 .

Passo 1

Precisamos encontrar as retas tangentes, como sabemos o valor da inclinação, é possível calcularmos os pontos onde as retas encostam na curva. Para encontrarmos a equação da inclinação, precisamos fazer a derivada de y:

d y d x = d d x ( 2 x 3 + 4 x 2 - x )

Passo 2

A derivada acima pode ser resolvida diretamente, bastando calcular cada termo separado:

d y d x = d d x 2 x 3 + d d x 4 x 2 - d d x ( x )

Que será:

d y d x = y ' = 6 x 2 + 8 x - 1

Sendo y’ a inclinação da reta.

Passo 3

Mas sabemos o valor da inclinação dado no problema, então podemos escrever a nossa derivada como:

1 2 = 6 x 2 + 8 x - 1

Reescrevendo:

12 x 2 + 16 x - 3 = 0

6 x - 1 2 x + 3 = 0

E então:

x = 1 6   e   x = - 3 2

Passo 4

Agora vamos usar esses valores de x, para encontrar os seus respectivos y, e com isso saberemos os pontos onde as retas encostam na nossa curva:

y = 2 x 3 + 4 x 2 - x

y 1 6 = 2 1 6 3 + 4 1 6 2 - 1 6 = - 5 108

y - 3 2 = 2 - 3 2 3 + 4 - 3 2 + 3 2 = 15 4

Passo 5

Já temos os valores dos pontos, basta substitui-los na equação da reta:

y - y p = y ' x - x p

E então ficaremos com, para x = 1 / 6 :

y + 5 108 = 1 2 x - 1 6

y = 1 2 x - 7 54

E para x = - 3 / 2 :

y - 15 4 = 1 2 x + 3 2

y = 1 2 x + 9 2

Resposta

y = 1 2 x - 7 54

y = 1 2 x + 9 2

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