Encontre a soma das séries.

79. 3 + 9 / 2! + 27 / 3! + 81 / 4! + ...

Passo 1

Fala, galera!

Essa questão é muito show. Ela pede a soma da série! Só isso.

Primeiro, precisamos transformar essa soma infinita em uma série.

Observa que nesse somatório existe uma lógica?

Podemos reescrever a série como:

3 + 9 2 ! + 27 3 ! + 81 4 ! + …

3 1 1 ! + 3 2 2 ! + 3 3 3 ! + 3 4 4 ! + …

Reparou?

Então vamos representar dessa maneira, olha só:

∑ n = 1 ∞ 3 n n !

Passo 2

Contudo, o que nós descobrimos se parece muito com uma série:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Bem parecida com a nossa, né? A única diferença é que essa daqui tem n = 0 , enquanto a que descobrimos tem n = 1 . Então faremos uma manipulação muito top aqui, presta atenção!

∑ n = 1 ∞ x n n ! = ∑ n = 0 ∞ x n n ! - x 0 0 ! = e x - 1

Vamos repetir esse mesmo passo pra nossa série, substituindo x por 3 :

∑ n = 1 ∞ 3 n n ! = ∑ n = 0 ∞ 3 n n ! - 3 0 0 ! = e 3 - 1

Prontinho!

Resposta

3 + 9 2 ! + 27 3 ! + 81 4 ! + … = - 1 + e 3

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