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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 1j

Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais.

j) h x = x 1 + x   t g   x   ,       x ∈ 0 ,   π 2

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função:

h ' x = 1 1 + x   t g   x - x 1   t g   x + x sec 2 ⁡ x 1 + x   t g   x 2 = 1 - x 2 sec 2 ⁡ x 1 + x   t g   x 2

Vemos que a derivada se igualará a 0 para o ponto x = α que seja raiz dessa equação:

1 - x 2 sec 2 ⁡ x = 0

Passo 2

Note que:

h x = x 1 + x   t g   x > 0   ,       x ∈ 0 , π 2

Assim, teremos h α > 0 . Porém,

h 0 = 0 1 + 0 = 0

lim x → π 2 - ⁡ h x = lim x → π 2 - ⁡ x 1 + x   t g   x → π 2 1 + π 2 + ∞ → 0

Logo, α é ponto de máximo global.

Resposta

α é ponto de máximo global, onde α é raiz da equação 1 - x 2 sec 2 ⁡ x = 0

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(a) Use um gráfico para estimar os valores máximo e mínimo absolutos da função com precisão de duas casas decimais. (b) Use o cálculo para encontrar os valores máximo e mínimo exatos. f x = e x + e -