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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 9

Ache a integral indefinida geral.

∫ 1 - t ( 2 + t 2 )   d t

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Nesse problema temos que calcular a integral:

∫ 1 - t 2 + t 2   d t

Parece complicado?

Para resolver esse problema temos que, primeiramente, analisar a função de integração. Nesse caso:

f t = 1 - t 2 + t 2 = 2 + t 2 - 2 t - t 3

Perceba que f é um polinômio, portanto para calcular sua integral podemos aplicar a regra da potência:

∫ a x n   d x = a x n + 1 n + 1 + C ,     n ≠ - 1

Veja só!

Passo 2

Aplicando a regra da potencia que vimos no passo 1:

∫ 1 - t 2 + t 2   d t = ∫ 2 + t 2 - 2 t - t 3   d t

∫ 2 + t 2 - 2 t - t 3   d t = 2 t 0 + 1 0 + 1 + t 2 + 1 2 + 1 - 2 t 1 + 1 1 + 1 - t 3 + 1 3 + 1 + C

Com isso, temos:

∫ 2 + t 2 - 2 t - t 3   d t = 2 t + t 3 3 - t 2 - t 4 4 + C

E como:

∫ 1 - t 2 + t 2   d t = ∫ 2 + t 2 - 2 t - t 3   d t

Então:

∫ 1 - t 2 + t 2   d t = 2 t + t 3 3 - t 2 - t 4 4 + C

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ 1 - t 2 + t 2 d t = 2 t + t 3 3 - t 2 - t 4 4 + C

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