Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 18
Ache a integral indefinida geral.
Passo 1
Oie, tudo certinho 😉?
Nessa questão, temos que encontrar qual é a integral indefinida geral de
ou seja, precisamos encontrar a função mais geral , que satisfaça
🤔 Mas olhando a função
não conseguimos reconhecer facilmente uma regra para integrais indefinidas que pode nos ajudar, certo?
Bem, podemos manipular a função , usando identidades trigonométricas, e reescreve-lá de maneira conveniente para usarmos regras conhecidas.
Para podermos fazer isso, vamos precisar relembrar das seguintes igualdades:
- Seno do arco duplo é igual a:
- A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.
- A integral indefinida geral da função cosseno é
onde é uma constante qualquer.
Pronto, vamos colocar a mão na massa e resolver essa questão 💪!
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a função
Bem, como vale que
então
Simplificando, temos que:
Com isso, podemos reescrever a integral indefinida do enunciado como sendo:
Agora, para resolver a questão precisamos encontrar a integral indefinida geral de
Passo 3
Queremos encontrar a integral indefinida geral de
Porém, pela propriedade da integral indefinida apresentada no Passo , temos que:
Observe que a integral indefinida da direita é conhecida, e vale
Dessa forma, temos que
ou seja,
onde é uma constante qualquer.
Resposta
A integral indefinida geral procurada é dada por:
onde é uma constante qualquer.