Ache a integral indefinida geral

∫ c o s s e c 2 t - 2 e t . d t

Passo 1

Bom, vamos ter que resolver a seguinte integral

∫ c o s s e c 2 t - 2 e t . d t

E para isso, vamos usar algumas propriedades de integrais, tá bem?

A primeira delas, é que a gente pode separar essa integral em duas,de acordo com a propriedade da soma/subtração:

∫ f x ± g x d x = ∫ f x d x ± ∫ g x d x

Também vamos usar a propriedade de que a constante pode sair de dentro da integral:

∫ C f x d x = C ∫ f x d x

E por fim, vamos ter que usar a antiderivação para encontrar o valor das nossas integrais.Vai nos ajudar aqui lembrar a antiderivada da função exponencial:

e x = e x '

E lembrar a antiderivada da função cossecante, essa não é tão conhecida, mas é isso, pra resolver essa questão você precisa saber que:

c o s s e c 2 x = - c o t g x '

Isso acontece, pois a derivada da cotangente é a menos cossecante ao quadrado:

c o t g x ' = - c o s s e c 2 ( x )

Portanto, a derivada da menos cotangente é a cossecante ao quadrado:

- c o t g x ' = c o s s e c 2 ( x )

Usando essas antiderivadas você irá conseguir resolver a questão, mas não se esquece de somar a constante C no final!

Passo 2

Resolvendo nossa integral, vamos primeiro separar os termos:

∫ c o s s e c 2 t - 2 e t . d t = ∫ c o s s e c 2 t . d t - ∫ 2 e t . d t

Agora, tirar a consntate de dentro da segunda integral:

= ∫ c o s s e c 2 t . d t - 2 ∫ e t . d t

Vimos no Passo 1 as antiderivadas dessas funções, portanto, vimos que:

∫ e t . d t = e t

∫ c o s s e c 2 t . d t = - c o t g   t

Substituindo:

= - c o t g   t - 2 e t

Aaaa, mas não se esqueçam! Em integrais indefinidas devemos adicionar a constante:

∫ c o s s e c 2 t - 2 e t . d t = - c o t g   t - 2 e t + C

Resposta

∫ c o s s e c 2 t - 2 e t . d t = - c o t g   t - 2 e t + C

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