Calcule a integral.

∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver mais uma atividade. Aqui eu e você iremos resolver essa integral.

A questão pede para calcularmos a integral. Vamos ter que usar as relações trigonométricas, pois temos chance de com elas facilitar nosso trabalho, com destaque para a fundamental: s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 .

Vamos reescrever a integral como

∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x = ∫ s e n 6 x cos 2 ⁡ x cos ⁡ x   d x

= ∫ s e n 6 x     1 - s e n 2 x cos ⁡ x   d x

Agora, lembre-se que a derivada do seno é cosseno e vamos fazer a substituição u = s e n   x de modo que d u = cos ⁡ x   d x .

Passo 2

Fazendo a substituição u = s e n   x , a integral fica

d u = cos ⁡ x d x

∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x = ∫ s e n 6 x     1 - s e n 2 x cos ⁡ x   d x

= ∫ u 6   1 - u 2   d u

= ∫ u 6 - u 8   d u

Calculando a integral:

∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x = u 7 7 - u 9 9 + C

Passo 3

Voltando a variável original:

∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x = s e n 7 x 7 - s e n 9 x 9 + C

Resposta

s e n 7 x 7 - s e n 9 x 9 + C

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