Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 58
Ache o intervalo em que a curva
é côncava para cima.
Passo 1
Fala aí! tudo certinho 😎?
Nesse problema, temos uma curva dada pela função
Nosso objetivo é determinar o intervalo em que essa curva tem a concavidade voltada para cima.
⚠️ Atenção!
Pelo Teste da Concavidade, temos que uma curva é côncava para cima quando a segunda derivada é positiva, ou seja,
Então, para resolvermos essa questão precisamos:
- Primeiro, calcular a primeira derivada .
- Segundo, calcular a segunda derivada .
🤔Mas como vamos fazer isso?
Usando a Parte do Teorema Fundamental do Cálculo, lembra dela? Se não, sem problemas!
Saca só: Se
então
Com isso, vamos obter uma expressão para em função da variável Derivando essa expressão, encontramos a segunda derivada que queremos.
Mas se liga, para facilitar o cálculo, vamos lembrar da regrinha abaixo, beleza?
- Regra do Quociente: Se e são funções deriváreis, então:
Vamos fazer as contas nos próximos passos!
Passo 2
Como
então uma aplicação direta da Parte do Teorema Fundamental nos dá
Agora que temos uma expressão em função de , basta derivarmos usando as regras de derivação. Como
e
então usando a Regra do Quociente temos que
Encontramos a segunda derivada da função
e, dessa forma, no próximo Passo vamos avaliar em qual intervalo temos
Passo 3
Vamos encontrar o intervalo onde !
Observe que o denominador de
sempre será um valor positivo, pois qualquer número elevado ao quadrado resulta em um número positivo. Com isso, vamos ter que
somente quando
ou seja, quando
o que equivale a
Dessa forma, a função
é côncava para cima no intervalo
Resposta
A função é côncava para cima no intervalo