Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 57
Se
Onde
Determine
Passo 1
Oie!
Quando batemos o olho fica um pouco assustador né?!
Queremos encontrar a segunda derivada de:
Sendo que , ou seja, a função de dentro dessa integral é:
Para ficar ainda mais claro nosso problema:
Mas não se assuste! É apenas para entendermos a ordem das coisas!
Então, para resolvermos vamos aplicar o TFC (Teorema Fundamental do Cálculo), mas vamos lembrar da parte 1 do TFC, que diz o seguinte
Se
Então
Ou seja, quando você deriva uma integral, a função que você está procurando é basicamente a mesma que estava dentro da integral, mas avaliada no limite superior! Assim conseguiremos a primeira derivada.
Para a segunda derivada iremos aplicar o mesmo teorema! Porém nosso limite superior será uma função e precisaremos derivar, usando a famosa regra da cadeia!
Agora sim, mão na massa!
Passo 2
Para a primeira derivada, basta trocarmos por na expressão de , e temos:
E já temos na nossa primeira derivada!
Passo 3
Agora que encontramos precisamos encontrar , para isso, basta usarmos mais uma vez o TFC. Então, para resolver, precisamos notar que nosso limite superior é , que é uma função:
Agora, para podermos aplicar o TFC mais uma vez, precisamos usar a regra da cadeia para encontrarmos .
Aplicando o limite de integração:
Resolvendo a derivada de , e simplificando:
Passo 4
Agora que já encontramos basta fazermos para encontrar
Entendeu tudinho? Responde aí!