Encontre a primitiva mais geral da função. ( Verifique sua resposta derivando.)

f(x) = 3 * e^x + 7 * sec^2(x)

Passo 1

Bom galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a primitiva da função f .

Isso é, encontrar qual função F x quando derivada resulta em f x .

Repara só, nossa função f x possui uma exponencial e uma secante ao quadrado. Teremos portanto que encontrar uma função F x que quando derivada resulte em uma exponencial e na secante ao quadrado.

Passo 2

Bom, vamos procurar então quais funções compõem a nossa F x ,lembrando que queremos que:

F x ' = f x = 3 e x + 7 s e c 2 x

O quê que quando derivado resulta em uma exponencial? A própria exponencial né:

e x ' = e x

Também temos ali uma secante ao quadrado. O quê que quando derivado resulta em uma secante ao quadrado? Essa aqui não é tão trivial, mas se você se forçar um pouco, pode ser que lembre que a derivada da tangente é a secante ao quadrado.

t g   x ' = sec 2 ⁡ x

Passo 3

Sendo a nossa f x dada por

f x = 3 e x + 7 s e c 2 x

Temos que uma família de funções que quando derivada resulta em f x é:

F x = 3 e x + 7 tan ⁡ x + C n

Onde C n é uma constante.

Ao derivar F ( x ) , temos

F ' x = 3 e x + 7 s e c 2 x

Então como

F ' x = f ( x )

Então F ( x ) é a primitiva de f ( x ) .

Resposta

F x = 3 e x + 7 tan ⁡ x + C n

Com C n sendo uma constante.

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