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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.Revisão - Ex. 20

Ache o limite, se existir.

underset(y -> 3)(lim) sqrt((y - 3)/(y^3 - 27))

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Para isso vamos fatorar y^3 - 27 em polinômios de grau menores e substituir na equação.

y^3 - 27 = (y - 3) (y^2 + 3 y + 9)

underset(y -> 3)(lim) sqrt((y - 3)/(y^3 - 27)) = underset(y -> 3)(lim) sqrt((y - 3)/((y^2 + 3 y + 9)))

Passo 2

Como (y - 3) é um termo em comum dessa divisão seu valor se torna 1.

underset(y -> 3)(lim) sqrt((y - 3)/((y - 3) (y^2 + 3 y + 9))) = underset(y -> 3)(lim) sqrt((1)/((y^2 + 3 y + 9)))

Passo 3

Por fim temos:

underset(y -> 3)(lim) sqrt((1)/((y^2 + 3 y + 9)))

sqrt((1)/((( 3 )^2 + 3 ( 3 ) + 9)))

sqrt((1)/(27))

(1)/(3 sqrt(3)) = (sqrt(3))/(9)

Resposta

underset(y -> 3)(lim) sqrt((y - 3)/(y^3 - 27) ) = (sqrt(3))/(9)

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