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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.Revisão - Ex. 40

Ache o limite, se existir.

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos 3 x)/(sin 3 x)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite por 3 x e manipula-lo para aplicar a propriedade da multiplicação de limite.

(underset(x -> 0)(lim) (1 - cos 3 x)/(sin 3 x)) * (3 x)/(3 x)

underset(x -> 0)(lim) ((1 - cos 3 x)/(3 x)) * ((3 x)/(sin 3 x))

(underset(x -> 0)(lim) (1 - cos 3 x)/(3 x)) * (underset(x -> 0)(lim) (3 x)/(sin 3 x))

Passo 2

Agora vamos substituir 3x por t e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

3 x = t

x -> 0 => t -> 0

(underset(t -> 0)(lim) (1 - cos t)/(t)) * (underset(t -> 0)(lim) (t)/(sin t))

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por (1)/(t) e aplicar a propriedade da divisão de limites.

(underset(t -> 0)(lim) (1 - cos t)/(t)) * (underset(t -> 0)(lim) (t)/(sin t)) ((1)/(t))/((1)/(t))

(underset(t -> 0)(lim) (1 - cos t)/(t)) * ((underset(t -> 0)(lim) 1)/(underset(t -> 0)(lim) (sin t)/(t)))

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(t -> 0)(lim) (sin t)/(t) = 1 e underset(t -> 0)(lim) (1 - cos t)/(t) = 0 .

(0) * ((1)/(1))

0

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos 3 x)/(sin 3 x) = 0

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