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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.Revisão - Ex. 39

Ache o limite, se existir.

underset(t -> 0)(lim) (sin 5 t)/(sin 2 t)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites, após vamos multiplicar e dividir o limite por 10 t .

(underset(t -> 0)(lim) sin 5 t) * (underset(t -> 0)(lim) (1)/(sin 2 t))

(underset(t -> 0)(lim) sin 5 t) (underset(t -> 0)(lim) (1)/(sin 2 t)) * (10 t)/(10 t)

(5)/(2) (underset(t -> 0)(lim) (sin 5 t)/(5 t)) * (underset(t -> 0)(lim) (2 t)/(sin 2 t))

Passo 2

Agora vamos substituir 5t por u, 2t por v e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

5 t = u , 2 t = v

t -> 0 => u -> 0 , t -> 0 => v -> 0

(5)/(2) (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * (underset(v -> 0)(lim) (v)/(sin v))

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por (1)/(v) e aplicar a propriedade da divisão de limites.

(5)/(2) (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * (underset(v -> 0)(lim) (v)/(sin v)) * ((1)/(v))/((1)/(v))

(5)/(2) (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * ((underset(v -> 0)(l i m) 1)/(underset(v -> 0)(l i m) (sin v)/(v)))

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(x -> 0)(lim) (sin x)/(x) = 1 .

(5)/(2) (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * ((underset(v -> 0)(l i m) 1)/(underset(v -> 0)(l i m) (sin v)/(v)))

(5)/(2) (1) * ((1)/(1))

(5)/(2)

Resposta

underset(t -> 0)(lim) (sin 5 t)/(sin 2 t) = (5)/(2)

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2)a) Prove que existe r0 tal quecos x - 1(sen x)/(x) - 10 Para 0|x|r .b) Calcule underset(x - 0)(lim) (x - sen x)/(x^2)
Calcule. underset(x - p)(lim) (cos x - cos p)/(x - p)
Calcule. underset(x - p)(lim) (sec x - sec p)/(x - p)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (sen (x^2 + (1)/(x)) - sen (1)/(x))/(x)
Nos exercícios de 19 a 48, ache o limite, se existir.46)lim x → 0 ⁡ 2 x 2 - 3 x 2 s e nx