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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 1n

Calcule.

underset(x -> 0)(lim) (sen (x^2 + (1)/(x)) - sen (1)/(x))/(x)

Passo 1

Para resolvermos esse limite, devemos desmembrar o seno da soma:

Lembrando que

sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a

Temos então:

sen (x^2 + (1)/(x)) = sen x^2 cos (1)/(x) + sen (1)/(x) cos x^2

Logo:

underset(x -> 0)(lim) (sen (x^2 + (1)/(x)) - sen (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x) + sen (1)/(x) cos x^2 - sen (1)/(x))/(x)

underset(x -> 0)(lim) (sen (x^2 + (1)/(x)) - sen (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x) + sen (1)/(x) (cos x^2 - 1))/(x)

= underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) + underset(x -> 0)(lim) (sen (1)/(x) (cos x^2 - 1))/(x)

Passo 2

Basta então, resolver os dois limites e somar os resultados:

Para underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) temos:

underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) xx (x)/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x^2)/(x^2) xx x cos (1)/(x)

underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x^2)/(x^2) xx underset(x -> 0)(lim) x cos (1)/(x)

Como underset(x -> 0)(lim) x = 0 e cos (1)/(x) é uma função limitada, então underset(x -> 0)(lim) x cos (1)/(x) = 0 . E substituindo x^2 = h de modo que x -> 0 => h -> 0 ; temos que underset(x -> 0)(lim) (sen x^2)/(x^2) = underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) = 1 , assim:

underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x^2)/(x^2) xx underset(x -> 0)(lim) x cos (1)/(x) = 1 xx 0 = 0

underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) = 0

Passo 3

Para underset(x -> 0)(lim) (sen (1)/(x) (cos x^2 - 1))/(x) temos:

underset(x -> 0)(lim) (sen (1)/(x) (cos x^2 - 1))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen (1)/(x) (cos x^2 - 1))/(x) xx (x)/(x) = underset(x -> 0)(lim) (cos x^2 - 1)/(x^2) xx underset(x -> 0)(lim) x sen (1)/(x)

Como underset(x -> 0)(lim) x = 0 e sen (1)/(x) é uma função limitada, então underset(x -> 0)(lim) x sen (1)/(x) = 0 . E substituindo x^2 = h de modo que x -> 0 => h -> 0 ; temos que underset(x -> 0)(lim) (cos x^2 - 1)/(x^2) = underset(h -> 0)(lim) (cos h - 1)/(h) = 0 , assim:

underset(x -> 0)(lim) (sen (1)/(x) (cos x^2 - 1))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (cos x^2 - 1)/(x^2) xx underset(x -> 0)(lim) x sen (1)/(x) = 0 xx 0 = 0

underset(x -> 0)(lim) (sen (x^2 + (1)/(x)) - sen (1)/(x))/(x) = 0

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (sen (x^2 + (1)/(x)) - sen (1)/(x))/(x) = 0

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