Calcule. underset(x -> 0)(lim) (sen (x^2 + (1)/(x)) - sen (1)/(x))/(x) Passo 1Para resolvermos esse limite, devemos desmembrar o seno da soma: Lembrando que sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a Temos então: sen (x^2 + (1)/(x)) = sen x^2 cos (1)/(x) + sen (1)/(x) cos x^2 Logo: underset(x -> 0)(lim) (sen (x^2 + (1)/(x)) - sen (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x) + sen (1)/(x) cos x^2 - sen (1)/(x))/(x) underset(x -> 0)(lim) (sen (x^2 + (1)/(x)) - sen (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x) + sen (1)/(x) (cos x^2 - 1))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) + underset(x -> 0)(lim) (sen (1)/(x) (cos x^2 - 1))/(x) Passo 2Basta então, resolver os dois limites e somar os resultados: Para underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) temos: underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) xx (x)/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x^2)/(x^2) xx x cos (1)/(x) underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x^2)/(x^2) xx underset(x -> 0)(lim) x cos (1)/(x) Como underset(x -> 0)(lim) x = 0 e cos (1)/(x) é uma função limitada, então underset(x -> 0)(lim) x cos (1)/(x) = 0 . E substituindo x^2 = h de modo que x -> 0 => h -> 0 ; temos que underset(x -> 0)(lim) (sen x^2)/(x^2) = underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) = 1 , assim: underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x^2)/(x^2) xx underset(x -> 0)(lim) x cos (1)/(x) = 1 xx 0 = 0 underset(x -> 0)(lim) (sen x^2 cos (1)/(x))/(x) = 0 Passo 3Para underset(x -> 0)(lim) (sen (1)/(x) (cos x^2 - 1))/(x) temos: underset(x -> 0)(lim) (sen (1)/(x) (cos x^2 - 1))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen (1)/(x) (cos x^2 - 1))/(x) xx (x)/(x) = underset(x -> 0)(lim) (cos x^2 - 1)/(x^2) xx underset(x -> 0)(lim) x sen (1)/(x) Como underset(x -> 0)(lim) x = 0 e sen (1)/(x) é uma função limitada, então underset(x -> 0)(lim) x sen (1)/(x) = 0 . E substituindo x^2 = h de modo que x -> 0 => h -> 0 ; temos que underset(x -> 0)(lim) (cos x^2 - 1)/(x^2) = underset(h -> 0)(lim) (cos h - 1)/(h) = 0 , assim: underset(x -> 0)(lim) (sen (1)/(x) (cos x^2 - 1))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (cos x^2 - 1)/(x^2) xx underset(x -> 0)(lim) x sen (1)/(x) = 0 xx 0 = 0 underset(x -> 0)(lim) (sen (x^2 + (1)/(x)) - sen (1)/(x))/(x) = 0 Resposta underset(x -> 0)(lim) (sen (x^2 + (1)/(x)) - sen (1)/(x))/(x) = 0 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosDetermine o limite a seguirunderset(x - 0)(lim) 6 x^2 ( c o t g x ) ( c o s s e c 2 x )Determine o limite a seguirunderset(y - 0)(lim) (s e n 3 y)/(4 y)Determine o limite a seguirunderset(x - 0)(lim) (s e n ( 1 - c o s t ))/(1 - c o s t)Determine o limite a seguirunderset(x - 0)(lim) (x - x c o s x)/(s e n^2 3 x)Determine o limite a seguirunderset(h - 0)(lim) (s e n ( s e n h ))/(s e n h)Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre LimitesLista de exercícios de Limite Fundamental Trigonométrico Ver exercício 3.8 - 2Ver exercício 3.8 - 1j