2)

a) Prove que existe r > 0 tal que

cos x - 1 < (sen x)/(x) - 1 < 0

Para 0 < |x| < r .

b) Calcule underset(x -> 0)(lim) (x - sen x)/(x^2)

Passo 1

a) Se por lei temos que para 0 < |x| < (pi)/(2) vale a relação cos x < (sen x)/(x) < 1

podemos subtrair 1 em todos os termos para obtermos:

cos x - 1 < (sen x)/(x) - 1 < 0

Então existe r > 0 que satisfaz a afirmação.

Passo 2

b) Para calcular o limite, podemos dividir o numerador e o denominador por x :

underset(x -> 0)(lim) (x - sen x)/(x^2) = underset(x -> 0)(lim) ((x - sen x)/(x))/((x^2)/(x)) = underset(x -> 0)(lim) (1 - (sen x)/(x))/(x)

Se no item a provamos que cos x - 1 < (sen x)/(x) - 1 < 0

Podemos multiplicar toda a inequação por - 1 :

0 < 1 - (sen x)/(x) < 1 - cos x

Passo 3

Se dividirmos todos os termos por x temos dois casos, um para x positivo, e um para x negativo:

Para 0 < x < (pi)/(2) :

0 < (1 - (sen x)/(x))/(x) < (1 - cos x)/(x)

Para - (pi)/(2) < x < 0 :

(1 - cos x)/(x) < (1 - (sen x)/(x))/(x) < 0

Assim, pelo teorema do confronto:

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x) < underset(x -> 0)(lim) (1 - (sen x)/(x))/(x) < underset(x -> 0)(lim) 0

Se underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x) = 0 :

0 < underset(x -> 0)(lim) (1 - (sen x)/(x))/(x) < 0

Um número que está entre zero e zero, só pode ser zero.

Logo:

underset(x -> 0)(lim) (1 - (sen x)/(x))/(x) = 0

Resposta

b) underset(x -> 0)(lim) (1 - (sen x)/(x))/(x) = 0

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