Ache os números críticos da função dada.

f(z) = cos^2(4z)

Passo 1

A questão pede para acharmos os números críticos da função. É importante lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos do domínio da função em que f ' z = 0 ou que f ' não existe. Assim, basta derivar a função e depois procurar os pontos críticos!

É fácil ver que o domínio de f são todos os números reais. Além disso, a função cosseno e suas derivadas estão definidas em todos os pontos, de modo que os únicos pontos críticos serão aqueles que zeram a derivada. Calculando a derivada:

f ' z = 2 cos ⁡ 4 z ⋅ cos ⁡ 4 z ' = - 8   s e n   4 z cos ⁡ 4 z

Passo 2

Igualando f ' z = 0 :

s e n   4 z cos ⁡ 4 z = 0 ⇒ s e n   4 z = 0       o u     cos ⁡ 4 z = 0

Assim, lembrando que o seno e cosseno se anulam nos extremos dos quadrantes trigonométricos:

4 z = 0 + n π 2 ,           n ∈ Z

Assim, os pontos críticos de f serão:

z = n π 8 ,         n ∈ Z

Resposta

z = n π 8 ,         n ∈ Z

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