Determine o polinômio de Taylor, de ordem 11, de g(x) = arctg(x) em volta de x₀ = 0 :

Passo 1

Bem, do exercício 9 temos que o polinômio de Taylor de ordem 10 de f x = 1 x 2 + 1 é:

P ' x = 1 - x 2 + x 4 - x 6 + x 8 - x 10

Bem, como a derivada de a r c   t g   x é 1 x 2 + 1 , a integral do polinomio de Taylor de ordem 10 de 1 x 2 + 1   é o polinômio de Taylor de ordem 11 de a r c   t g   x . Assim:

∫ 0 x P ' x = P   ( x )

Onde P(x) é o polinomio de Taylor de ordem 11 de a r c   t g   x . Dessa forma

P x = ∫ 0 x P ' x = ∫ 0 x 1 - x 2 + x 4 - x 6 + x 8 - x 10

P x = x - x 3 3 + x 5 5 + x 7 7 + x 11 11

Resposta

P x = x - x 3 3 + x 5 5 + x 7 7 + x 11 11

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