Verifique que x - (x^2 / 2) + (x^3 / 3) - (x^4 / 4) + … + (-1)^n (x^(n+1) / (n + 1)) é o polinômio de Taylor,de ordem n + 1 , de ln(x + 1) em volta de 0.

Passo 1

Bem, para isso vamos utilizara fórmula do polinômio de Taylor:

P t = f t 0 +   f ' t 0 t - t 0 + f ' ' t 0 2 !   t - t 0 2 + … + f n t 0 n !   t - t 0 n

Calculando a primeira derivada:

f ' t 0 = 1 x + 1

Bem, a primeira derivada é a mesma função do item (b), portanto podemos escrever o polinômio de Taylor de ordem n :

P x = ln ⁡ 1 + x -   x 2 2 + 2 x 3 3 ! - 3 ! x 4 4 ! + 4 ! x 5 5 ! + … + - 1 n - 1 n - 1 !   x n n !    

P x = x -   x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + x 5 5 + … + - 1 n - 1   x n n

Dessa forma, o polinômio de ordem n + 1 é :

P x = x -   x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + x 5 5 + … + - 1 n - 1   x n n +   - 1 n   x n + 1 n + 1

Resposta

P x = x -   x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + x 5 5 + … + - 1 n - 1   x n n +   - 1 n   x n + 1 n + 1

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