Estime o erro que se comete quando raiz(1 + x) é substituído por 1 + (1 / 2)x² se 0 < x < 0,01 .

Passo 1

Então galera, a função que nos foi dada é a seguinte:

f x = 1 + x 1 2

Como o grau de x é 1, então vamos tomar n = 1 e a = 0 , tudo bem? Tudo isso para simplificar nosso trabalho! O polinômio de Taylor é dado pela seguinte fórmula, pessoal:

P n x = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n

Sendo assim, precisamos determinar a primeira derivada de f ( x ) , certo? Botando mãos a obra, teremos:

f ' x = 1 2 . 1 + x - 1 2

f ' ' x = - 1 4 . 1 + x - 3 2

Passo 2

Utilizando o polinômio supracitado, teremos:

P 1 x = 1 + 1 2 x

Ademais, da fórmula de Taylor, temos que a última derivada pode ser escrita no seguinte formato:

f 2 ξ 2 ! = - 1 8 . 1 + ξ - 3 2 . x 2

Sendo assim, se quisermos descobrir o erro, teremos:

e r r o = - 1 8 . 1 + x - 3 2 . x 2 < 1 8 0,01 2 < 0,0000125

Note que ξ foi tomado como 0 , beleza?!

Resposta

e r r o < 0,0000125

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