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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.5 - Ex. 18

Estime o erro que se comete quando 1 + x é substituído por 1 + 1 2 x ² se 0 < x < 0,01 .

Passo 1

Então galera, a função que nos foi dada é a seguinte:

f x = 1 + x 1 2

Como o grau de x é 1, então vamos tomar n = 1 e a = 0 , tudo bem? Tudo isso para simplificar nosso trabalho! O polinômio de Taylor é dado pela seguinte fórmula, pessoal:

P n x = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n

Sendo assim, precisamos determinar a primeira derivada de f ( x ) , certo? Botando mãos a obra, teremos:

f ' x = 1 2 . 1 + x - 1 2

f ' ' x = - 1 4 . 1 + x - 3 2

Passo 2

Utilizando o polinômio supracitado, teremos:

P 1 x = 1 + 1 2 x

Ademais, da fórmula de Taylor, temos que a última derivada pode ser escrita no seguinte formato:

f 2 ξ 2 ! = - 1 8 . 1 + ξ - 3 2 . x 2

Sendo assim, se quisermos descobrir o erro, teremos:

e r r o = - 1 8 . 1 + x - 3 2 . x 2 < 1 8 0,01 2 < 0,0000125

Note que ξ foi tomado como 0 , beleza?!

Resposta

e r r o < 0,0000125

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Se os quatro primeiros termos do polinômio de Maclaurin forem usados para aproximar o valor de e , qual será a precisão do resultado?
Expresse e x 2 e cos ⁡ x como polinômios de Maclaurin de grau 4 e use-os para calcular lim x → 0 ⁡ e x 2 - cos ⁡ x x 4
Ache o polinômio de Taylor de grau n com resto de Lagrange em um número a para a função definida pela equação dada. f x = x - 1 2 a = 9 n = 4
Sejam n um natural ímpar e f x = sen ⁡ x . Mostre que, para todo x , sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 x n n ! ≤ x n + 2 n + 2 !
Avalie sen ⁡ 1 com erro, em módulo, inferior a 10 - 5 . (Sugestão: utilize o Exercício 2 .)