b) f(x) = 2 x^3 - x^2 - 4x + 1

Passo 1

Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função:

f´(x) = 6 x^2 – 2x – 4 -> f´´(x) = 12x -2

Passo 3

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos:

f´´(x) = 0 -> 12x = 2 -> x = (1)/(6)

Logo,

f´´(x) , (1)/(6) )

f´´(x) > 0 : ( (1)/(6) ,+ oo )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

( (1)/(6) ,+ oo )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

(- oo , (1)/(6) )

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso é (1)/(6)

Resposta

côncava para cima no intervalo: ( (1)/(6) ,+ oo )

côncava para baixo no intervalo: ( - oo , (1)/(6) )

Ponto de inflexão: (1)/(6)

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